Finite Element Method

درس روش اجزاء محدود یکی از دروس پایه و بسیار مهم در مقطع کارشناسی ارشد مهندسی عمران است که به آموزش مبانی نظری و عملی یکی از قدرتمندترین روش‌های عددی برای حل مسائل مهندسی می‌پردازد. هدف اصلی این درس، آشنایی دانشجویان با اصول فرمول‌بندی روش اجزاء محدود و توانمندسازی آن‌ها در مدل‌سازی و حل مسائل پیچیده انتقال نیرو، انتقال حرارت و به‌طور کلی مسائل مبتنی بر معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. در این درس، ارتباط روش اجزاء محدود با تحلیل ماتریسی سازه‌ها، اصول انرژی و کار مجازی به‌صورت نظام‌مند تبیین می‌شود. در ادامه، انواع المان‌های یک‌بعدی، دوبعدی و سه‌بعدی معرفی شده و فرمول‌بندی ماتریس سختی آن‌ها برای مسائل مختلف الاستیسیته، تنش و کرنش صفحه‌ای، خمش صفحات و مسائل میدان ارائه می‌شود. روش‌های باقیمانده وزن‌دار و گالرکین به‌عنوان پایه‌های ریاضی روش اجزاء محدود بررسی شده و کاربرد آن‌ها در حل مسائل یک‌بعدی و چندبعدی تشریح می‌گردد. همچنین المان‌های ایزوپارامتریک، المان‌های مثلثی و چهاروجهی با درجات مختلف، و نحوه محاسبه بردار نیروهای گره‌ای معادل ناشی از بارهای گسترده، ترکشن‌ها و اثرات حرارتی مورد مطالعه قرار می‌گیرند. در بخش‌های پیشرفته‌تر درس، مباحثی نظیر انتگرال‌گیری عددی، برنامه‌نویسی اجزاء محدود و روش‌های بهینه حل دستگاه معادلات (از جمله روش خط آسمان) ارائه می‌شود. کاربرد روش اجزاء محدود در مسائل میدان نظیر انتقال حرارت، جریان‌های هیدرودینامیکی و مسائل تراوش، همچنین تحلیل مسائل با تقارن محوری و المان‌های جامد سه‌بعدی بررسی می‌گردد.

The Finite Element Method (FEM) is a core graduate-level course in civil engineering that introduces the theoretical foundations and practical implementation of one of the most powerful numerical techniques used in engineering analysis. The primary objective of this course is to provide students with a solid understanding of FEM formulation and to enable them to model and solve complex problems involving force transfer, heat transfer, and, in general, systems governed by partial differential equations. The relationship between FEM, matrix structural analysis, and energy and virtual work principles is systematically established throughout the course.

The course covers the formulation of one-dimensional, two-dimensional, and three-dimensional finite elements, including elements used in structural analysis, elasticity, plane stress and plane strain problems, and plate bending. Weighted residual methods, particularly the Galerkin method, are introduced as the mathematical basis of FEM, and their application to one- and multi-dimensional problems is discussed. Isoparametric elements, triangular and quadrilateral elements of various orders, and the derivation of element stiffness matrices and consistent nodal force vectors under mechanical and thermal loading are examined in detail. Advanced topics include numerical integration techniques, finite element programming, and efficient solution strategies for large systems of equations such as the skyline (active column) solver. Applications of FEM to field problems such as heat conduction, seepage, and solutions of Laplace and Helmholtz equations are presented. Axisymmetric problems, three-dimensional solid elements, and an introduction to plate bending finite elements are also discussed.

در پایان این درس، دانشجویان توانایی فرمول‌بندی، پیاده‌سازی عددی و تحلیل نتایج مسائل مهندسی پیچیده را با استفاده از روش اجزاء محدود به‌صورت مستقل کسب خواهند کرد.

By the end of the course, students will be able to formulate, implement, and critically evaluate finite element models for complex engineering problems.

1. معرفی کلی روش اجزاء محدود و تقسیم بندی اولیه براساس نوع المان شامل: المان‌های مورد بحث تحلیل ماتریسی (محوری، تیر پیوسته، خرپا شبکه، قاب)، المان‌های مورد استفاده در مسائل الاستیسیته، خمش صفحه.

2. معرفی روش باقیمانده وزن دار و گالرکین و کاربرد آن در اجزاء محدود برای حل مسانل یک بعدی.

3. معرفی روش کار مجازی و انرژی و فرمولاسیون مسائل الاستیسیته دو سه بعدی به کمک روش‌های مذکور.

4. ماتریس سختی المان‌های مثلثی سه گرهی (CST) برای حل حالات تنش و کرنش صفحه‌ای.

5. ماتریس سختی المان‌های مثلثی منظم درجه بالاتر (LST، QST و ...).

6. بردار نیروهای گره‌ای سازگار و معادل با اثر بارهای گسترده و ترکشن‌ها برای مسائل دو بعدی.

7. بحث در ارتباط با برنامه نویسی برای المان‌های اجزاء محدود و توضیح در ارتباط با نحوه بهینه حل معادلات تکنیک خط آسمان (Skyline solver or active column solver).

8. ماتریس سختی المان‌های چهار وجهی ایزوپارامتریک دو بعدی شامل: المان‌هایی که گره‌های آن یک شبکه تشکیل می‌دهند (۴ و ‎٩‏ و16 و ۲۵ گره ای) المان‌های سرندیپیتی (Serendipity) مانند المان‌های 8 گره‌ای و ... .

9. ماتریس سختی المان‌های ایزوپارامتریک ( LST و QST نامنظم).

10. توضیح درباره انتگرالگیری عددی و کاربرد آن در المان‌های چهار وجهی يا مثلثی شکل.

11. ماتریس سختی المان‌های چهار وجهی ایزوپارامتریک با تعداد گره‌های متغیر (المانی با تعداد گره‌های متغیر ما بین 4 تا 9 برای استفاده در شبکه‌بندی‌های نامنظم).

12. ماتریس سختی المان‌های جامد سه بعدی شامل: المان‌های آجری شکل (Brick) (المان‌های 8، 20 و 27 گرهی)، المان‌های هرمی شکل (Pyramid) (المان‌های 4، 10 و ... گرهي) المان‌های گوه‌ای شکل (Wedge) (المان‌های 6، 15 و ... گرهي).

13. اثرات حرارت و نحوه اعمال آن در مسائل مرتبط با الاستیسیته ( بردار نیروهای سازگار گره‌ای معادل با حرارت در مسائل ۲ و ۳ بعدی).

14. کاربرد اجزاء محدود در مسائل میدان (Field problems) بطور مثال: استفاده از اجزاء محدود برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبط با معادله لاپلاس، هلم هولتز و غیره، توضیح درباره مسائل عملی مرتبط با معادلات فوق الذکر مانند محاسبه فشارهای هیدرودینامیک (Hydrodynamic) فشارهای منفذی (Seepage problems) یا مسائل انتقال حرارت (Heat equation).

15. ماتریس سختی المان‌های با تقارن محوری (Axi-symmetric problems) در حالت استفاده از مثلثی یا چهار وجهی.

16. مقدمه ای بر خمش صفحات و المان‌های محدود مربوط به آن.

Course Topics:

1. General Introduction to the Finite Element Method and Initial Classification Based on Element Types: elements commonly used in matrix structural analysis (axial members, continuous beams, trusses, and frames); elements used in elasticity problems; plate bending elements.

2. Introduction to the Weighted Residual Methods, Including the Galerkin Method, and Their Application in the Finite Element Solution of One-Dimensional Problems.

3. Introduction to the Virtual Work and Energy Methods and Formulation of Two- and Three-Dimensional Elasticity Problems Using These Approaches.

4. Stiffness Matrix of Three-Node Triangular Elements (Constant Strain Triangle, CST) for Plane Stress and Plane Strain Problems.

5. Stiffness Matrix of Higher-Order Regular Triangular Elements (LST, QST, etc.).

6. Equivalent and Consistent Nodal Force Vectors Corresponding to Distributed Loads and Tractions in Two-Dimensional Problems.

7. Discussion on Finite Element Programming and Efficient Solution of the Governing System of Equations, Including the Skyline Solver (Active Column Solver) Technique.

8. Stiffness Matrix of Two-Dimensional Isoparametric Quadrilateral Elements: including mesh-based elements with regularly distributed nodes (4, 9, 16, and 25 node elements) and serendipity elements (such as 8-node elements, etc.).

10. Numerical Integration Techniques and Their Application in Quadrilateral and Triangular Finite Elements.

11. Stiffness Matrix of Isoparametric Quadrilateral Elements with a Variable Number of Nodes: elements with variable nodal configurations (ranging from 4 to 9 nodes) for use in irregular meshes.

12. Stiffness Matrix of Three-Dimensional Solid Elements: including brick elements (8, 20, and 27-node elements), pyramid elements (4, 10, and higher-node elements), and wedge elements (6, 15, and higher-node elements).

13. Thermal Effects and Their Implementation in Elasticity Problems: equivalent consistent nodal force vectors due to thermal loads in two- and three-dimensional analyses.

14. Application of the Finite Element Method to Field Problems: solution of differential equations such as the Laplace and Helmholtz equations; discussion of practical engineering applications including hydrodynamic pressure analysis, seepage problems, and heat transfer problems.

15. Stiffness Matrix Formulation for Axisymmetric Elements: triangular and quadrilateral elements used in axisymmetric problems.

1. Mukhopadhyay, M., Sheikh, A. H. (2022). Matrix and Finite Element Analyses of Structures. Germany: Springer International Publishing.

2. Chandrupatla, T., Chandrupatla, T. R., Belegundu, A. (2021). Introduction to Finite Elements in Engineering. United Kingdom: Cambridge University Press.

3. Angoshtari, A., Matin, A. G. (2020). Finite Element Methods in Civil and Mechanical Engineering: A Mathematical Introduction. United States: CRC Press.

4. Zhu, B. (2018). he Finite Element Method: Fundamentals and Applications in Civil, Hydraulic, Mechanical and Aeronautical Engineering. Wiley.

5. Kim, N., Sankar, B. V., Kumar, A. V. (2018). Introduction to Finite Element Analysis and Design. United Kingdom: Wiley.

6. Koutromanos, I. (2018). Fundamentals of Finite Element Analysis: Linear Finite Element Analysis. United Kingdom: Wiley.

7. Pavlou, D. G. (2015). Essentials of the Finite Element Method: For Mechanical and Structural Engineers. Germany: Academic Press.

8. Belytschko, T., Liu, W. K., Moran, B., Elkhodary, K. (2014). Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. Germany: Wiley.

9. Carrera, E., Cinefra, M., Petrolo, M., Zappino, E. (2014). Finite Element Analysis of Structures Through Unified Formulation. United Kingdom: Wiley.

10. Hartmann, F., Katz, C. (2013). Structural Analysis with Finite Elements. Germany: Springer Berlin Heidelberg.

11. Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L. (2013). The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Netherlands: Elsevier Science.

12. Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., Zhu, J. Z. (2013). The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. Netherlands: Elsevier Science.

13. Logan, D. L. (2012). A first course in the finite element method 5th. Toronto: Thomson.

14. Hughes, T. J. R. (2012). The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. United States: Dover Publications.

15. Davies, A. J. (2011). The Finite Element Method: An Introduction with Partial Differential Equations. United Kingdom: OUP Oxford.

16. Rao, H. S. G. (2007). Finite Element Method Vs. Classical Methods. India: New Age International (P) Limited, Publishers.

18. SESHU, P. (2004). TEXTBOOK OF FINITE ELEMENT ANALYSIS. India: PHI Learning.

19. Segerlind, L. J. (1984). Applied finite element analysis. United Kingdom: Wiley.

20. Hinton, E., Owen, D. R. J. (1981). An Introduction to Finite Element Computations. United Kingdom: Pineridge Press.